Доказательство свойства суммы диагоналей параллелограмма

В параллелограмме существует важное соотношение между длинами диагоналей и длинами его сторон. Докажем следующее свойство: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Формулировка теоремы

Для любого параллелограмма ABCD со сторонами a и b, и диагоналями d₁ и d₂ выполняется равенство:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Доказательство с использованием векторной алгебры

1. Обозначим векторы сторон: AB = a, AD = b
2. Выразим диагонали через векторы сторон:
   • AC = a + b (диагональ d₁)
   • BD = b - a (диагональ d₂)
3. Найдем квадраты длин диагоналей:
   • |AC|² = (a + b)² = |a|² + 2ab + |b|²
   • |BD|² = (b - a)² = |b|² - 2ab + |a|²
4. Сложим полученные выражения:

   |AC|² + |BD|² = (|a|² + 2ab + |b|²) + (|b|² - 2ab + |a|²) = 2|a|² + 2|b|²

5. Получаем искомое равенство:

   d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Геометрическое доказательство

Применение теоремы косинусов

Для треугольника ABO:

AB² = AO² + BO² - 2·AO·BO·cosα ⇒ a² = (d₁/2)² + (d₂/2)² - 2·(d₁/2)·(d₂/2)·cosα

Для треугольника ADO:

AD² = AO² + DO² - 2·AO·DO·cos(180°-α) ⇒ b² = (d₁/2)² + (d₂/2)² + 2·(d₁/2)·(d₂/2)·cosα

Сложим полученные равенства:

a² + b² = 2(d₁/2)² + 2(d₂/2)² = (d₁² + d₂²)/2

Откуда следует: d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Следствия из доказанного свойства

• В прямоугольнике (частный случай параллелограмма) диагонали равны, и формула принимает вид: 2d² = 2(a² + b²) ⇒ d = √(a² + b²)
• В ромбе (a = b) сумма квадратов диагоналей равна: d₁² + d₂² = 4a²
• Свойство можно использовать для вычисления длины второй диагонали, если известны стороны и одна диагональ

Пример применения

Таким образом, доказанное свойство суммы квадратов диагоналей параллелограмма является мощным инструментом для решения геометрических задач и устанавливает важную взаимосвязь между элементами параллелограмма.